Question

【題目】在四面體A-BCD中，有兩條棱的長為，其余棱的長度都為1；

（1）若，且，求二面角A-BC-D的余弦值；

（2）求a的取值范圍，使得這樣的四面體是存在的；

Answer 1

【答案】（1）；（2）0＜a；

【解析】

（1）由題意畫出圖形，作出二面角的平面角，利用余弦定理得答案；

（2）分兩條長為a的棱相交與兩條長為a的棱互為對棱分析，結合運動思想與極限思想求得每一種情況的a的范圍，最后取并集得答案．

（1）如圖，

過A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，則∠AED為二面角A﹣BC﹣D的平面角，

在等邊三角形BCD中，∵BC＝CD＝BD＝1，∴DE，

在等腰三角形ABC中，∵AB＝AC，BC＝1，∴AE．

在△AED中，由余弦定理得cos∠AED；

（2）當兩條長為a的棱相交時，不妨設AB＝AC＝a，AD＝BD＝CD＝BC＝1，

∵面ABC與平面BCD重合且A，D在BC異側時，AE，此時AB＝AC，

面ABC與平面BCD重合且A，D在BC同側時，AE＝1，此時AB＝AC．

∴；

當兩條長為a的棱互為對棱時，不妨設BC＝AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，BC，AD可以無限趨近于0，

當ABCD為平面四邊形時a，

∴0．

綜上，若四面體存在，則0＜a．