Question

【題目】某高速公路隧道設計為單向三車道，每條車道寬4米，要求通行車輛限高5米，隧道全長1.5千米，隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀（如圖所示）.

（1）若最大拱高為6米，則隧道設計的拱寬至少是多少米？（結果取整數）

（2）如何設計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最小？（結果取整數）

參考數據：，橢圓的面積公式為，其中，分別為橢圓的長半軸和短半軸長.

Answer 1

【答案】（1）此隧道設計的拱寬至少是22米（2）當拱高為7米、拱寬為18米時，土方工程量最小

【解析】

（1）建立直角坐標系，設橢圓方程為，根據對稱性，將點代入橢圓方程，即可求解；

（2）由點在橢圓上或在橢圓內，得，利用基本不等式，即可求出橢圓的面積的最小值，根據體積公式，即可求解.

（1）建立直角坐標系如圖所示，

則點在橢圓上，

將與點代入橢圓方程，得，

此時，

因此隧道設計的拱寬至少是22米.

（2）由橢圓方程，得，

因為，即，，

由于隧道長度為1.5千米，故隧道的土方工程量，

當取得最小值時，有且，得，，

此時，.

①若，此時，此時，

②若，此時，此時，

因為，故當拱高為7米、拱寬為18米時，土方工程量最小.