Question

【題目】已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）因為f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，

所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x），①

得f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x），即﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），②

聯(lián)立①②可得，f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）= （﹣1＜x＜1），

g（x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=log2（1﹣x）（1+x）= （﹣1＜x＜1）

（2）解：設t=1﹣x2，由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，

所以函數(shù)y=log2t的值域是（﹣∞，0]，

故g（x）的值域是（﹣∞，0]

【解析】（1）由題意和函數(shù)奇偶性得：f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），令x取﹣x代入f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）化簡后，聯(lián)立原方程求出f（x）和g（x），由對數(shù)的運算化簡，由對數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的定義域；（2）設t=1﹣x2 ， 由﹣1＜x＜1得0＜t≤1，利用對數(shù)函數(shù)的性質求出g（x）的值域．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和函數(shù)奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是相同的；在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．