Question

某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元（t為常數，且2≤t≤5），設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元（25≤x≤40），根據市場調查，銷售量q與e^x成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤．
（Ⅰ）求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數關系式；
（Ⅱ）若t=5，當每公斤蘑菇的出廠價x為多少元時，該工廠的利潤y最大，并求最大值．

Answer 1

（Ⅰ）設日銷量q=

k

ex

，則

k

e30

=100，∴k=100e³⁰，
∴日銷量q=

100e30

ex

∴y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)．
（Ⅱ）當t=5時，y=

100e30(x-25)

ex

y′=

100e30(26-x)

ex

由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上單調遞增，在[26，40]上單調遞減．
∴當x=26時，y_max=100e⁴．當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的利潤最大，最大值為100e⁴元．