Question

【題目】函數y=ax3﹣x2+cx（a≠0）的圖象如圖所示，它與x軸僅有兩個公共點O（0，0）與A（xA ， 0）（xA＞0）；
（1）用反證法證明常數c≠0；
（2）如果 ，求函數的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：假設c=0，則y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1）；

∴ 這與圖象所給的：

當0＜x＜xA時，f（x）＞0矛盾，∴c≠0

（2）解：由（1）知c≠0，∴y=x（ax2﹣x+c）

∵圖象與x軸僅有兩個公共點，

∴方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根 ．

由韋達定理 ，∴ ，∴

【解析】分析：（1）根據反證明法的證明方法，先假設c=0，則y=ax3﹣x2=x2（ax﹣1），這與圖象所給的矛盾，從而得出c≠0；（2）由（1）知c≠0，得出y=x（ax2﹣x+c），圖象與x軸僅有兩個公共點，得出方程ax2﹣x+c=0（a≠0）有二等根 ．