Question

【題目】對于集合A={x|x=m2﹣n2 ， m∈Z，n∈Z}，因為16=52﹣32 ， 所以16∈A，研究下列問題：
（1）1，2，3，4，5，6六個數中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？
（2）討論集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素屬于A，試給出一個普通的結論，不必證明．

Answer 1

【答案】
（1）∵1=12﹣02；3=22﹣12；5=32﹣22；4=22﹣02；

∴1，3，4，5∈A，且2，6A；

設2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m2﹣n2成立．（m﹣n）（m+n）=2

當m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數

∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數，與2不是4倍數矛盾．

當m，n同分別為奇，偶數時，m﹣n，m+n均為奇數

（m﹣n）（m+n）為奇數，與2是偶數矛盾．∴2A同理6A

（2）4=22﹣02；8=32﹣12；12=42﹣22；2，6，10，14，A，結論：是4的倍數的數屬于A．

【解析】（1）根據集合A的元素的性質證明1，3，4，5∈A，對于2和6用反證法進行證明，證明過程注意根據整數是奇（偶）進行分類說明；（2）根據集合A的元素的性質，在偶數中找出是集合A的元素和一些不是的A的元素，由這些數的特征進行歸納得出結論．
【考點精析】利用元素與集合關系的判斷對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一．