Question

【題目】已知函數．

(Ⅰ)當時，討論函數的單調區間；

(Ⅱ)若對任意的和恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)首先求得導函數，然后結合導函數的解析式分類討論函數的單調性即可； (Ⅱ)將原問題進行等價轉化為，，恒成立，然后構造新函數，結合函數的性質確定實數的取值范圍即可．

解：(Ⅰ)當時，，

當時，在上恒成立，函數在上單調遞減；

當時，由得：；由得：．

∴當時，函數的單調遞減區間是，無單調遞增區間：

當時，函數的單調遞減區間是，函數的單調遞增區間是．

(Ⅱ)對任意的和，恒成立等價于：

，，恒成立．

即，，恒成立．

令：，，，

則得，

由此可得：在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

∴當時，，即

又∵，

∴實數的取值范圍是：．