Question

【題目】已知函數

討論函數的單調性；

設，對任意的恒成立，求整數的最大值；

求證：當時，

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）若a≤0，則f（1）＝﹣a+1＞0，不滿足f（x）≤0恒成立．若a＞0，由（Ⅰ）可知，函數f（x）在（0，）上單調遞增；在（）上單調遞減．由此求出函數的最大值，由最大值小于等于0可得實數a的取值范圍．

（3）由（2）可知，當a＝1時，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x，則ex﹣xlnx+x﹣1≥ex﹣x2+2x﹣1．然后利用導數證明ex﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可說明ex﹣xlnx+x＞0．

（1）∵函數 f（x）＝（a∈R ）．

∴，x＞0，

當a＝0時，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）單調遞增．

當a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調遞增．

當a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x，

令f′（x）＜0，解得：x，

故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．

（2）當時，則f（1）＝2a+3＞0，不滿足f（x）≤0恒成立．

若a<0，由（1）可知，函數f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．

∴，又f（x）≤0恒成立，

∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,則g(a)單調遞增，g(-1)=1，

g(-2)=<0，∴a時，g(a) <0恒成立，此時f（x）≤0恒成立，

∴整數的最大值-2．

（3）由（2）可知，當a＝-2時，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即xlnx﹣2x3+x≤0，恒成立，①

又ex﹣x2+2x﹣1+（）

∴只需證ex﹣x2+2x﹣1，

記g（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），則g′（x）＝ex﹣2x+2，

記h（x）＝ex﹣2x+2，則h′（x）＝ex﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．

當x∈（0，ln2）時，h′（x）＜0；當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0．

∴函數h（x）在（0，ln2）上單調遞減；在（ln2，+∞）上單調遞增．

∴4﹣2ln2＞0．

∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增．

∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．

結合①∴ex﹣x2+2x﹣1+（）＞0，即＞0成立．