Question

【題目】圓的方程為：，為圓上任意一點，過作軸的垂線，垂足為，點在上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于、兩點，點的坐標為，的面積為，求的最大值，及直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2），直線的方程為或.

【解析】

（1）設點的坐標，求出的坐標，設，通過，可以得到

與的關系，與的關系，把代入圓的方程中，最后得到點的軌跡的方程。

（2）由題意易知直線的斜率不為0，設直線的方程為，直線方程與點的軌跡的方程聯立，根據一元二次方程根與系數關系，可以得出的面積的表達式，最后利用基本不等式可以求出的最大值，直線的方程.

（1）設，則，設，，，因為，所以，把代入圓的方程得，所以的軌跡的方程為.

（2）由題意易知直線的斜率不為0，設直線的方程為，設，，

聯立，，，

.

當且僅當時取等號，

所以面積有最大值為.

所以的面積為最大時，直線的方程為或.