Question

【題目】如圖，過(guò)橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓E的頂點(diǎn)，且AB∥OP，F2為右焦點(diǎn)，△PF2Q的周長(zhǎng)為8．

（1）求橢圓E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F1作直線(xiàn)l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，若△OCD的面積為，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意，三角形的周長(zhǎng)求出的值，再由AB∥OP，直線(xiàn)的斜率相等及a，c，b之間的關(guān)系求出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程與橢圓聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出兩根之差的絕對(duì)值，求出面積，再由橢圓求出直線(xiàn)方程．

（1）由題意得：4a＝8，a＝2，且，a2＝b2+c2，b2＝2，

所以橢圓的方程：；

（2）顯然直線(xiàn)l的斜率不為零，

設(shè)l的方程為：x＝my，C（x，y），D（x'，y'），

聯(lián)立與橢圓的方程得：（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，y+y'，yy'，

S△OCD|OF1||yC﹣yD|2，

∴由題意得：，整理得：5m4﹣34m2﹣7＝0，

解得m2＝7，所以m，

所以直線(xiàn)l的方程為：xy．