Question

我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，己知F₁，F₂是一對相關曲線的焦點，P是它們在第一象限的交點，當∠F₁PF₂=60°，則這 一對相關曲線中橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，設a₁是橢圓的長半軸，a₁是雙曲線的實半軸，由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出結果．

解答： 解：設F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
設a₁是橢圓的實半軸，a₂是雙曲線的實半軸，
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
將它們及離心率互為倒數關系代入前式得3a₂²-4c²+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

c

a1

•

3c

a1

=1
即3e12=1
∴e1=

3

3

故答案為

3

3

點評：本題考查雙曲線和橢圓的簡單性質，解題時要認真審題，注意正確理解“相關曲線”的概念．