Question

已知向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）和向量

b

=（1，f（x）），且

a

∥

b

．
（1）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（2）已知△ABC的三個內角分別為A，B，C，若有f（A-

π

3

）=

3

，BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的長度．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,平面向量共線（平行）的坐標表示

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理、兩角和差的正弦公式、三角函數的性質即可得出；
（2）利用正弦定理即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，∴

1

2

f(x)-(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=0，化為f（x）=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)．
∴函數f（x）的周期為2π，最大值為2．
（2）∵f(A-

π

3

)=

3

得2sinA=

3

，即sinA=

3

2

，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，又BC=

7

，sinB=

21

7

，則AC=

BCsinB

sinA

=2．

點評：本題考查了向量共線定理、兩角和差的正弦公式、三角函數的性質、正弦定理，屬于中檔題．