Question

在直角坐標系xoy中線段AB與y軸垂直，其長度為2，AB的中點C在直線x+2y-4=0上，則∠AOB的最大值為______．

Answer 1

如圖所示．
由題意可設A（a，b），B（2+a，b），則線段AB的中點C（a+1，b）．
∵AB的中點C在直線x+2y-4=0上，∴a+1+2b-4=0，化為a+2b=3．
①當a=0時，b=

3

2

．此時A(0，

3

2

)，B(2，

3

2

)．
可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

=

2

3 2

=

4

3

．
②當a=-2時，b=

5

2

．此時A(-2，

5

2

)，B(0，

5

2

)．
可得tan∠AOB=

|AB|

|OA|

=

2

5 2

=

4

5

．
③當b=0時，a=3．此時A（3，0），B（5，0）．
可得tan∠AOB=0．
④當a≠0，-2且b≠0時，此時kOA=

b

a

，kOB=

b

2+a

．
當b＞0時，可得tan∠AOB=

kOA-kOB

1+kOA•kOB

=

b a - b 2+a

1+ b a • b 2+a

=

2b

a(2+a)+b2

=

2b

(3-2b)(5-2b)+b2

=

2

5b+ 15 b -16

．
tan∠AOB≤

2

2 5b• 15 b -16

=

1

5 3 -8

=

5 3 +8

11

，當且僅當b=

3

，a=3-2

3

時取等號．
當b＜0時，tan∠AOB=

2

16-5b- 15 b

≤

1

8+5 3

．
綜上可知：只有當a=3-2

3

時，b=

3

．可得tan∠AOB的最大值

5 3 +8

11

．
故答案為：arctan

5 3 +8

11

．