Question

已知圓和點．
（1）過點M向圓O引切線，求切線的方程；
（2）求以點M為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓M的方程；
（3）設P為（2）中圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請求出定點R的坐標，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）：或
（2）
（3）存在定點R，此時為定值或定點R，此時為定值

（1）若過點M的直線斜率不存在，直線方程為：，為圓O的切線；     1分
當切線l的斜率存在時，設直線方程為：，即，
∴圓心O到切線的距離為：，解得：
∴直線方程為：．                        
綜上，切線的方程為：或                               4分
（2）點到直線的距離為：，
又∵圓被直線截得的弦長為8 ∴              7分
∴圓M的方程為：                                     8分
（3）假設存在定點R，使得為定值，設，，
∵點P在圓M上 ∴，則          10分
∵PQ為圓O的切線∴∴，

即
整理得：（*）
若使（*）對任意恒成立，則                     13分
∴，代入得：
整理得：，解得：或  ∴或
∴存在定點R，此時為定值或定點R，此時為定值．      16分