Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，以為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為（），為上一點，以為邊作等邊三角形，且、、三點按逆時針方向排列.

（Ⅰ）當點在上運動時，求點運動軌跡的直角坐標方程；

（Ⅱ）若曲線： ，經過伸縮變換得到曲線，試判斷點的軌跡與曲線是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標，沒有則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：考慮到 則點的極坐標可以表示為將點代入直線的極坐標方程中得到關于的方程即為點的極坐標方程，再轉化為點的直角坐標方程.（2）將曲線的普通方程與直線普通方程聯立 故必有兩個交點.

試題解析：（Ⅰ）設點的坐標為，

則由題意可得點的坐標為，

再由點的橫坐標等于， ，

可得，

可得，

故當點在上運動時點的直角坐標方程為．

（Ⅱ)曲線： ，

，即，代入，即，

聯立點的軌跡方程，消去得，

有交點，坐標分別為．