Question

15．若 （2x-1）²⁰¹⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₇x²⁰¹⁷（x∈R），則$\frac{1}{2}+\frac{a_2}{{{2^2}{a_1}}}+\frac{a_3}{{{2^3}{a_1}}}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{2^{2017}}{a_1}}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2017}$
• B． $-\frac{1}{2017}$
• C． $\frac{1}{4034}$
• D． $-\frac{1}{4034}$

Answer 1

分析 利用賦值法，令x=0求得a₀，令x=$\frac{1}{2}$求得$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2017}}{{2}^{2017}}$，再利用二項展開式的通項公式求出a₁，從而求出$\frac{1}{2}+\frac{a_2}{{{2^2}{a_1}}}+\frac{a_3}{{{2^3}{a_1}}}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{2^{2017}}{a_1}}}$的值．

解答 解：（2x-1）²⁰¹⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₇x²⁰¹⁷中，
令x=0，可得-1=a₀；
令x=$\frac{1}{2}$，可得0=-1+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2017}}{{2}^{2017}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2017}}{{2}^{2017}}$=1；
又（2x-1）²⁰¹⁷展開式中，通項公式為：
T_r+1=${C}_{2017}^{r}$•（2x）^2017-r•（-1）^r，
令2017-r=1，解得r=2016；
∴（2x-1）²⁰¹⁷展開式中，含x項的系數為：
a₁=2${C}_{2017}^{2016}$=4034，
∴$\frac{1}{2}+\frac{a_2}{{{2^2}{a_1}}}+\frac{a_3}{{{2^3}{a_1}}}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{2^{2017}}{a_1}}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{4034}$．
故選：C．

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了推理能力與計算能力，是中檔題．