Question

設f(x)=-x³+x²+2ax.
(1)若f(x)在(,+∞)上存在單調遞增區間,求a的取值范圍.
(2)當0<a<2時,f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區間上的最大值.

Answer 1

(1) a>-    (2) f(x)_max=

(1)f(x)=-x³+x²+2ax,
∴f'(x)=-x²+x+2a,當x∈[,+∞)時,f'(x)的最大值為f'()=+2a.
函數f(x)在(,+∞)上存在單調遞增區間,即導函數在(,+∞)上存在函數值大于零成立,
∴+2a>0a>-.
(2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-,而f'(x)=-x²+x+2a的圖象開口向下,且對稱軸為x=,
∴f'(1)=-1+1+2a=2a>0,
f'(4)=-16+4+2a=2a-12<0,
則必有一點x₀∈[1,4]使得f'(x₀)=0,此時函數f(x)在[1,x₀]上單調遞增,在[x₀,4]上單調遞減,
f(1)=-++2a=+2a>0,
∴f(4)=-×64+×16+8a=-+8a,
∴-+8a=-,得a=1,
此時,由f'(x₀)=-+x₀+2=0得x₀=2或-1(舍去),
所以函數f(x)_max=f(2)=.