Question

如圖，已知拋物線上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線與拋物線C交于兩點，，且（a為正常數）．過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，連結AD、BD得到．
（i）求實數a，b，k滿足的等量關系；
（ii）的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（i）（ii）為定值

試題分析：(Ⅰ)依題意：，解得.拋物線方程為.
(Ⅱ)(i)由方程組消去得：.（※）
依題意可知：.
由已知得，.
由，得，即，整理得.
所以 .
(ii)由(i)知中點，所以點，
依題意知.
又因為方程（※）中判別式，得.
所以 ，
由（Ⅱ）可知，所以.
又為常數，故的面積為定值.
點評：判斷直線與拋物線的位置關系時，不要忘記驗證判別式