Question

以橢圓的右焦點F₂為圓心作一個圓，使此圓過橢圓的中心O并交橢圓于點M、N，若過橢圓的左焦點F₁的直線MF₁是圓F₂的切線，則右準線與圓F₂（　　）

A．相交

B．相切

C．相離

D．位置關系隨離心率改變

Answer 1

分析：先根據題意和橢圓定義可知|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c 進而根據勾股定理建立等式求得e，利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系．

解答：解：由題意得：|MF₂|=|OF₂|=c，
|MF₁|+|MF₂|=2a，
|F₁F₂|=2c，
直角三角形MF₁F₂中，
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，
即（2a-c）²+c²=4c²，
整理得2a²-2ac-c²=0，
即e²+2e-2=0，解得e=

3

-1，
圓心到橢圓的右準線l的距離為

a2

c

-c，圓的半徑為c，
∴

a2

c

-c＜c，
∴橢圓的右準線l與圓F₂相交，
故選A．

點評：本題以橢圓與圓為依托，考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查直線與圓的位置關系．考查學生分析問題、解決問題的能力．