Question

以橢圓的右焦點F₂為圓心的圓恰好過橢圓的中心，交橢圓于點M、N，橢圓的左焦點為F₁，且直線MF₁與此圓相切，則橢圓的離心率e為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意得|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，在直角三角形MF₁F₂中 根據(jù)勾股定理可知|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，進而得到關(guān)于a和c的方程，把方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于

c

a

即e的方程，進而求得e．

解答：解：由題意得：|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
直角三角形MF₁F₂中
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²
即（2a-c）²+c²=4c²
整理得2a²-2ac-c²=0
a=（2c+2c根號3）/4=（c+c根號3）/2=c（1+根號3）/2
等式兩邊同除以a²，得

c2

a2

+2•

c

a

-2=0
即e²+2e-2=0，解得e=

3

-1或-

3

-1（排除）
故e=

3

-1
故答案為

3

-1

點評：本題主要考查了橢圓性質(zhì)．要利用好橢圓的第一和第二定義．