Question

【題目】已知橢圓的離心率為是上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于的直線交于異于的兩點．點關于原點的對稱點為．證明：直線與軸圍成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）因為離心率為，所以；即的方程為：，代入即可；（2）設直線的斜率為,則要證直線與軸圍成的三角形是等腰三角形需證．由已知可得直線的斜率為，則直線的方程為：，聯立直線和橢圓的方程，找到斜率，代入相應的量即可．

試題解析：（1）因為離心率為，所以，

從而的方程為：

代入解得：，

因此．

所以橢圓的方程為：

（2）由題設知的坐標分別為，

因此直線的斜率為，

設直線的方程為：，

由得：，

當時，不妨設，

于是，

分別設直線的斜率為，

則，

則要證直線與軸圍成的三角形是等腰三角形，

只需證，

而

所以直線與軸轉成的三角形是等腰三角形