Question

如圖，為半圓，為半圓直徑，為半圓圓心，且，為線段的中點，已知，曲線過點，動點在曲線上運動且保持的值不變.
(I)建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；
(II)過點的直線與曲線交于兩點，與所在直線交于點，，證明：為定值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）根據題意建立適當的坐標系，以為坐標原點，因為的值不變，所以會想到橢圓的定義，根據橢圓的定義，需要知道的值，易知，故橢圓的基本量就能很快求出，從而求出最終橢圓的標準方程.（2）圓錐曲線與向量的綜合，最好使用點的坐標表示，可以根據題意設出的坐標，利用，的關系，反求出（含）的坐標代入到橢圓方程中，得到，，可見是方程的兩個根，故.還可以利用聯立方程組的方法，但稍微復雜一點，具體過程見解答.
試題解析：（1）以為原點，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系.
因為動點在曲線上運動且保持的值不變，而點也在曲線上，
所以，滿足橢圓的定義，
故曲線是以原點為中心，為焦點的橢圓.
則，，
所以曲線的標準方程為
（2）

解法一：設而不求法
設的坐標分別為，則
，
帶入到得
化簡，得
同理由，得
是方程的兩個根

解法二：聯立方程組法
設點的坐標分別為，
易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．
顯然直線  的斜率存在，設直線 的斜率為 ，則直線  的方程是
將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得
．
∴，
又 ∵， 則．∴，
同理，由，∴
∴ .