Question

如圖，橢圓的離心率為，是其左右頂點，是橢圓上位于軸兩側的點（點在軸上方），且四邊形面積的最大值為4．

（1）求橢圓方程；
（2）設直線的斜率分別為，若，設△與△的面積分別為，求的最大值．

Answer 1

（1）； （2）的最大值為．

試題分析：（1）由   2分，得，所以橢圓方程為；   4分
（2）設，設直線的方程為，代入得
，                               5分
， ，                                7分
，，由得，
所以，所以，            8分
得，得，①         9分
，
，                      10分
代入①得，得，或（是增根，舍去），      11分
所以                                       12分
所以，當時取到，  14分
所以，所以的最大值為．  `      15分
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質，建立了a,bac的方程組。（2）作為研究三角形面積問題，應用韋達定理，建立了m的函數式，利用函數觀點，求得面積之差的最大值，使問題得解。