Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四邊形ABED是正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分別是EC，BD的中點．

（1）求證：GF∥平面ABC；

（2）求證：平面DAC⊥平面EBC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接AE，證明GF∥AC，然后通過直線與平面平行的判定定理，證明GF∥平面ABC；

（2）由四邊形ADEB為正方形，證得EB⊥AB，得出以BE⊥AC，證得AC⊥平面EBC，進而得到平面DAC⊥平面EBC.

（1）連接AE，

因為四邊形ADEB為正方形，所以AE∩BD＝F，且F是AE的中點，

因為G是EC的中點，所以GF∥AC.

又AC平面ABC，GF平面ABC，所以GF∥平面ABC.

（2）因為四邊形ADEB為正方形，所以EB⊥AB，

又因為平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE平面ABED，

所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC，

因為CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC，

又因為BC∩BE＝B，BC，BE平面EBC，所以AC⊥平面EBC，

因為AC平面DAC，

所以平面DAC⊥平面EBC.