Question

【題目】對于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間A為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”.給出下列四個函數(shù):①;②;③;④.其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的個數(shù)是( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”,對四個函數(shù)逐一判斷,即可得到答案.

在①中,如在區(qū)間、都是的可等域區(qū)間,故①不合題意;

在②中,,且在時遞減,在時遞增,

若,則,于是,又,,而,故,

是一個可等域區(qū)間;

若,則,解得,,不合題意,

若,則有兩個非負解,但此方程的兩解為1和,也不合題意,

故函數(shù)只有一個等可域區(qū)間,故②成立;

在③中,函數(shù)的值域是,所以,

函數(shù)在上是增函數(shù),考察方程,

由于函數(shù)與只有兩個交點,,

即方程只有兩個解和,

因此此函數(shù)只有一個等可域區(qū)間,故③成立;

在④中,函數(shù)在定義域上是增函數(shù),

若函數(shù)有等可域區(qū)間,則,,

但方程無解(方程無解),故此函數(shù)無可等域區(qū)間,故④不成立.

綜上只有②③正確.

故選:B.