Question

【題目】某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖.

（1）若直方圖中后四組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以下的人數；

（2）學習小組成員發現，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學生進行了調查，得到右表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系?

（3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一步調查他們良好的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50的學生人數為，求的分布列和數學期望.

附：

Answer 1

【答案】（1）820人；（2）在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系；（3）分布列見解析，期望為1．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，當前三組的頻率成等比數列，后四組的頻率成等差數列時，以下的頻率為，故全年級視力在以下的人數約為；

（Ⅱ）由，因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認為視力與學習成績有關系；

（Ⅲ）依題可取，，，，則，，

，，

所以的數學期望.

試題解析：（Ⅰ）設各組的頻率為，

依題意，前三組的頻率成等比數列，后四組的頻率成等差數列，故

，，

所以由得，

所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83，

故全年級視力在5.0以下的人數約為

(Ⅱ)

因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系.

（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，

可取0，1，2，3，

，，

，

的分布列為

X	0	1	2	3
P

的數學期望