Question

如圖所示，O為坐標原點，過點P(2,0)且斜率為k的直線L交拋物線y=2x于M(x,y),N(x,y)兩點. ⑴寫出直線L的方程；⑵求xx與yy的值；⑶求證：OM⊥ON

Answer 1

⑴直線L方程為y=k(x-2)
⑵xx=4,yy=-4
（3）根據已知中直線的方程意義拋物線的方程聯立方程組，結合斜率公式來表示求證。

試題分析：解:⑴
（Ⅰ）解：直線l過點P（2，0）且斜率為k，故可直接寫出直線l的方程為y=k（x-2） （k≠0）①
（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y代入可得k²x²-2（k²+1）x+4k²=0．②則可以分析得：點M，N的橫坐標x₁與x₂是②的兩個根，由韋達定理得x₁x₂由韋達定理得x₁x₂= =4.又由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂得到（y₁y₂）²=4x₁x₂=4×4=16，又注意到y₁y₂＜0，所以y₁y₂=-4．（Ⅲ）證明：設OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，則k=,k=.相乘得k k==-1OM⊥ON所以證得：OM⊥ON．
點評：主要是考查了拋物線的方程以及性質和直線與拋物線的位置關系，屬于基礎題。