Question

已知橢圓過點，且它的離心率．直線
與橢圓交于、兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）當時，求證：、兩點的橫坐標的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線與圓相切，橢圓上一點滿足，求實數的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) ；
(Ⅱ)，為定值．
（Ⅲ）的取值范圍為 ．

試題分析：(Ⅰ) 設橢圓的標準方程為
由已知得：，解得   
所以橢圓的標準方程為：   4分
(Ⅱ) 由，得，設，，
則，為定值． 9分
（Ⅲ）因為直線與圓相切
所以，     
把代入并整理得：
設，則有 

因為，， 所以，
又因為點在橢圓上， 所以，
．   因為    所以 ，
所以 ，所以 的取值范圍為 ．     16分
點評：中檔題，涉及橢圓的題目，在近些年高考題中是屢見不鮮，往往涉及求標準方程，研究直線與橢圓的位置關系。求標準方程，主要考慮定義及a,b,c,e的關系，涉及直線于橢圓位置關系問題，往往應用韋達定理。涉及直線于圓的位置關系問題，往往利用“特征三角形”。本題在應用韋達定理的基礎上，得到參數的表達式，應用二次函數性質使問題得解。