Question

已知M (-3，0)﹑N (3，0)，P為坐標平面上的動點，且直線PM與直線PN的斜率之積為常數m (m，m0)，點P的軌跡加上M、N兩點構成曲線C.
求曲線C的方程并討論曲線C的形狀；
(2) 若，曲線C過點Q (2，0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點A﹑B，AB中點為R，直線OR (O為坐標原點)的斜率為，求證 為定值；
(3) 在(2)的條件下，設，且，求在y軸上的截距的變化范圍.

Answer 1

（1）
若m=-1，則方程為，軌跡為圓；
若，方程為，軌跡為橢圓；
若，方程為，軌跡為雙曲線
（2）
（3）

試題分析：解：（1）由得點P的軌跡方程為：.
若m=-1，則方程為，軌跡為圓；
若，方程為，軌跡為橢圓；
若，方程為，軌跡為雙曲線。          4分
（2）時，曲線C方程為，
設的方程為：，與曲線C方程聯立得：，
設，則①，②，
可得，  ∴為定值。        7分
注：①可用點差法證明；②直接用得出結果的，本小題只給1分.
（3）由得代入①②得：③，④，
③式平方除以④式得：，
∵在上單調遞增，∴，∴，可得 
又∵在y軸上的截距，∴=，
∴，此即為在y軸上的截距的變化范圍。    10分
點評：解決的關鍵是根據直線與橢圓聯立方程組來結合韋達定理來求解，屬于中檔題。