Question

已知函數y=f(x)是定義在區間［-，］上的偶函數，且
x∈［0，］時，
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）若矩形ABCD的頂點A，B在函數y=f(x)的圖像上，頂點C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值.

Answer 1

（1） （2）6

本題主要考查了分段函數、函數的最值及其幾何意義及利用導數研究函數的極值，屬于中檔題．
（1）欲求函數f（x）的解析式，只須求出函數f（x）在x∈[- ，0]時的解析式即可，利用函數的偶函數性質即可由y軸右側的表達式求出在y軸左側的表達式．最后利用分段函數寫出解析式即可．
（2）設A點在第一象限，坐標為A（t，-t²-t+5），利用對稱性求出B點坐標，進而求出矩形ABCD面積，最后利用導數求出此面積表達式的最大值即可．
解（1）當x∈時，-x∈．
∴．又∵f（x）是偶函數，
∴．
∴.
（2）由題意，不妨設A點在第一象限，
坐標為（t，-t2-t+5），其中t∈
由圖象對稱性可知B點坐標為．
則S（t）=  =
s′（t）=．由s′（t）=0，得（舍去），．
當0＜t＜1時，s′（t）＞0；t＞1時，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上單調遞增，在上單調遞減．
∴當t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，
且此極大值也是S（t）在t∈上的最大值．
從而當t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6．