Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）求證：當時，；

（Ⅲ）當時，若曲線在曲線的上方，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值1，無極小值；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）求導，列出隨x的變化，和的情況表，進而求得極值；

（Ⅱ）令（），求導，由得，則，進而得出函數的單調性，由此得證；

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知符合題意，再令，分及均可判斷不合題意，進而得出實數a的取值范圍.

（Ⅰ）因為，定義域，所以.令，解得.

隨x的變化，和的情況如下：

x		0
		0
	增	極大值	減

由表可知函數在時取得極大值，無極小值；

（Ⅱ）證明：令（），

.

由得，于是，故函數是上的增函數.

所以當時，，即；

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）知，滿足題意.

令，.

當時，若，，則在上是減函數.

所以時，，不合題意.

當時，，則在上是減函數，所以，不合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍.