Question

【題目】如圖，已知拋物線焦點為，過上一點作切線，交軸于點，過點作直線交于點.

（1）證明：；

（2）設直線，的斜率為，的面積為，若，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設過點與相切的切線，與拋物線聯立，利用可得，進而可得點坐標，再設直線，與拋物線聯立，利用韋達定理可得答案；

（2）利用（1）的結果可得，代入，可得與的關系，再利用弦長公式和點到直線的距離公式求出和點到的距離，則可表示出，利用換元法和求導求其最小值.

（1）設過點與相切的切線，

聯立，消去得，

由，

則，則，

因為直線的斜率不為0，

設直線，聯立方程得，

故；

（2）由（1）得，則

整理得，即，

當時，點在軸上方，必有，與矛盾

所以必有，則，

則

故，

則，

點到的距離，

，

，令，

則，

令，則

則對于函數，

則，

則函數在上單調遞增，在上單調遞減，

，

，

，

故的最小值為.