Question

在f（m，n）中，m，n，f（m，n）∈N⁺，且對任何m、n都有：（Ⅰ）f（1，1）=1，（Ⅱ）f（m，n+1）=f（m，n）+2，（Ⅲ）f（m+1，1）=2f（m，1）．
給出下列四個結論：
①f（1，5）=9； ②f（5，1）=16；
③f（5，6）=26；④f（5，3）=20．
其中正確的結論是（　　）

A．①②

B．②③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

分析：利用定義條件推出關系式f（m，n）=2^m-1+2（n-1），代入即可求解．

解答：解：由f（1，1）=1，f（m，n+1）=f（m，n）+2，
解得f（m，n）=f（m，1）+（n-1）•2，
又由f（m+1，1）=2f（m，1），解得f（m，1）=f（1，1）•2^m-1=2^m-1，
∴f（m，n）=2^m-1+（n-1）•2，
①f（1，5）=2^1-1+2×（5-1）=1+2×4=9，∴①正確．
②f（5，1）=2^5-1=2⁴=16，∴②正確
③f（5，6）=2⁴+5×2=16+10=26．，∴③正確．
④f（5，3）=2⁴+2×2=16+4=20．∴④正確．
故選D．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用已經條件推出關系式f（m，n）=2^m-1+2（n-1）是解決本題的關鍵，將抽象函數看成數列能更好理解．