Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）·e^3-x （a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=（a²+）e^x（a>0），若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

⑴，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
⑵ a的取值范圍為．

解析試題分析：⑴，令，
即所以
所以 …………………………………………………………………3分
，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)． ………………………………………………………………………………6分
⑵ 當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)
又
∴在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0f/8/1ouva3.png" style="vertical-align:middle;" /> ………………………………………8分
又在上為增函數(shù)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e7/1/17e3x3.png" style="vertical-align:middle;" />……10分

等價(jià)于……………………………………………12分
存在使得成立，只須
，又
∴a的取值范圍為． ………………………………………………………………14分
考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題。
點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，（2）涉及恒成立問題，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，這種思路是一般解法，往往要利用“分離參數(shù)法”，本題最終化為最值之間故選的研究，體現(xiàn)考題“起點(diǎn)高，落點(diǎn)低”的特點(diǎn)。