Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M在橢圓上,且滿求k的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得其離心率，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)可求得橢圓的離心率，再根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得b和a，橢圓的方程可得；

（2）先設(shè)直線l的方程為，，直線和橢圓相交，聯(lián)立方程可得含有k的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理可知和，再根據(jù)，用點(diǎn)A，B表示點(diǎn)M，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得k.

詳解：(1)因?yàn)殡p曲

所以橢圓的離心率

因為b=1,所以a=2.

故橢圓的方程

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

(1+4k2)x2+8kx=0,

所以x1+x2=

因

所以m

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,

所以m2+4n2=4,

所

所以y1y2=0,

所以(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=k·

即k2

所以k=

此時(shí)Δ=(8k)2-4(1+4k2)×0=64k2=16>0,

故k的值