Question

【題目】對于定義在區間上的函數，若同時滿足：

（Ⅰ）若存在閉區間，使得任取，都有（是常數）；

（Ⅱ）對于內任意，當，時總有恒成立，則稱函數為“平底型”函數.

（1）判斷函數和是否是“平底型”函數？簡要說明理由；

（2）設是（1）中的“平底型”函數，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）函數是區間上的“平底型”函數，求和滿足的條件，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）是“平底型”函數，不是“平底型”函數；理由見解析；（2）；

（3）且.

【解析】

（1）將函數與分別表示為分段函數，結合題中定義對這兩個函數是否為“平底型”函數進行判斷；

（2）由（1）知，，由題意得出，利用絕對值三角不等式求出的最小值，然后分、、三種情況來解不等式，即可得出的取值范圍；

（3）假設函數，是“平底型”函數，則該函數的解析式需滿足“平底型”函數的兩個條件，化簡函數解析式，檢驗“平底型”函數的兩個條件同時具備的、值是否存在.

（1），.

對于函數，當時，，

當時，；當時，.

所以，函數為“平底型”函數.

對于函數，當時，；當時，.

但區間不是閉區間，所以，函數不是“平底型”函數；

（2）由（1）知，，

由于不等式對一切恒成立，則.

由絕對值三角不等式得，則有.

①當時，由，得，解得，此時，；

②當時，恒成立，此時，；

③當時，由，得，解得，此時，.

綜上所述，的取值范圍是；

（3）.

①當時，

（i）若，則，該函數為“平底型”函數；

（ii）若，則該函數不是“平底型”函數；

②當時，若時，則，當時，，該函數不是“平底型”函數；

③當時，則，

（i）若，則該函數不是“平底型”函數；

（ii）若，該函數不是“平底型”函數；

（iii）若，則，則，顯然，該函數不是“平底型”函數.

綜上所述，當且時，函數是區間上的“平底型”函數.