Question

【題目】已知點(diǎn)，直線：，平面上有一動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)到的距離為.若動(dòng)點(diǎn)滿足：.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過(guò)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：在軸上，是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，可得到的表達(dá)式，結(jié)合，可求得的關(guān)系式，即為所求軌跡方程；

（2）若直線的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線：，與軌跡方程聯(lián)立，可得到關(guān)于的一元二次方程及根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)，，，可得到的表達(dá)式，將根與系數(shù)關(guān)系代入上式，整理并化簡(jiǎn)可求得定點(diǎn)及定值，若直線的斜率不存在，驗(yàn)證可知也滿足題意.

（1）設(shè)點(diǎn)，則，，展開(kāi)得，

所以的軌跡方程為；

（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，設(shè)，，，

則，，

若直線的斜率存在，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線：，，

，，

則 ，

不妨設(shè)，則

化簡(jiǎn)可得，

令，解得，，

即為常數(shù)，點(diǎn)，；

若直線的斜率不存在，設(shè)在的上方，可得，，經(jīng)驗(yàn)證滿足.

故在軸上，存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，點(diǎn)，.