Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程和函數f（x）的極值：
（2）若對任意x1 ， x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣ 成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，所以f'（0）=﹣2，

因為f（0）=1，

所以曲線f（x）在（0，f（0））處的切線方程為2x+y﹣1=0

由 解得x=2，則f'（x）及f（x）的變化情況如下：

x	（﹣∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以函數f（x）在x=2時，取得極小值

（2）解：由題設知：當x＞1時， ，當x＜1時， ，

若a＜1，令x1=2，x2∈[a，1），則x1，x2∈[a，+∞），

由于 ，顯然不符合題設要求

若a≥1，對x1，x2∈[a，+∞），f（x1）≤0，f（x2）≤0，

由于 ，

顯然，當a≥1，對x1，x2∈[a，+∞），不等式 恒成立，

綜上可知，a的最小值為1

【解析】（1）求出f（x）的導數，求得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線方程；求得單調區間，可得極值；（2）對a討論，若a＜1，若a≥1，討論f（x1）﹣f（x2）的最值或范圍，即可得到所求a的最小值．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．