Question

【題目】如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E為棱DD1的中點(diǎn)．
（1）證明：B1C1⊥平面BDE；
（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意，BD=BC= ，

∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，則BC⊥BD．

又∵ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，∴BC⊥DE，

∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，

又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE

（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）．

， ．

設(shè)平面BEC1 的法向量為 ，

由 ，得 ，取x=3，得 ．

由（1）知，平面BDE的一個法向量 ．

∴cos＜ ＞= = ．

由圖可知，二面角D﹣BE﹣C1為鈍角，

∴二面角D﹣BE﹣C1的大小為arccos（﹣ ）

【解析】（1）由題意證明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，得BC⊥DE，由線面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，進(jìn)一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出B，C，C1 ， E的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出平面BEC1 與平面BDE的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BE﹣C1的大小．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．