Question

已知函數f(x)=x³-x,數列{a_n}滿足條件:a₁≥1,a_n+1≥f'(a_n+1).試比較+++…+與1的大小,并說明理由.

Answer 1

見解析

+++…+<1.
理由如下:
∵f'(x)=x²-1,a_n+1≥f'(a_n+1),
∴a_n+1≥(a_n+1)²-1.
令g(x)=(x+1)²-1,則函數g(x)=x²+2x在區間[1,+∞)上單調遞增,于是由a₁≥1,得a₂≥(a₁+1)²-1≥2²-1,進而得a₃≥(a₂+1)²-1≥2⁴-1>2³-1,
由此猜想:a_n≥2ⁿ-1.
下面用數學歸納法證明這個猜想:
①當n=1時,a₁≥2¹-1=1,結論成立;
②假設n=k(k≥1且k∈N^*)時結論成立,即a_k≥2^k-1,則當n=k+1時,由g(x)=(x+1)²-1在區間[1,+∞)上單調遞增知,a_k+1≥(a_k+1)²-1≥2^2k-1≥2^k+1-1,即n=k+1時,結論也成立.
由①②知,對任意n∈N^*,都有a_n≥2ⁿ-1,
即1+a_n≥2ⁿ,∴≤,
∴+++…+≤+++…+==1-()ⁿ<1.
【方法技巧】“歸納——猜想——證明”類問題的一般解題思路
通過觀察有限個特例,猜想出一般性的結論,然后用數學歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題中有著廣泛的應用,其關鍵是歸納、猜想出公式.