Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線MN的斜率為時(shí)，求的值；

（3）若以MN為直徑的圓與x軸相交的右交點(diǎn)為P(t，0)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】

（1）設(shè)焦距2c，由題得到關(guān)于的方程組，解方程組即得解；

（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得解；

（3）先討論當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，；再討論直線斜率存在的情況,聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，再根據(jù)得到，解不等式組綜合即得解.

解：（1）設(shè)焦距2c，，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由（1）知，c＝2，則F2(2，0)

或

即，或，

因此，；

（3）當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，MN：x＝2，＝，

以MN為直徑的圓方程為：,

其與x軸相交的右交點(diǎn)為(，0)，即；

當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN：，M(，)，N(，)

所以，

，，

則，

因?yàn)?/span>P在以MN為直徑的圓上，則，

所以

所以

所以

所以，

因?yàn)?/span>，

所以.

∵P是右交點(diǎn)，故t＞2，

因此，

解得．

綜合得.