Question

【題目】如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面三角形是等邊三角形）中，，分別是的中點.

（1）求證：平面∥平面；

（2）在線段上是否存在一點使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；點在處

【解析】

（1）要證明平面∥平面，只需證明∥平面，∥平面即可；

（2）在線段上存在一點，它就是點，連接，過點作垂直于，垂足為，連接，只需證明，，再利用線面垂直的判定定理即可得到證明.

證明：（1）因為分別是的中點，

所以∥，

又因為平面，平面，所以∥平面.

因為分別是的中點，四邊形為平行四邊形，

所以，且∥，

所以四邊形是平行四邊形，

所以∥.

又因為平面，平面，

所以∥平面.

又因為，平面，平面，

所以平面∥平面.

（2）在線段上存在一點，它就是點，使得平面.

連接，過點作垂直于，垂足為，連接.

因為在正三棱柱中，，底面三角形是等邊三角形，

所以四邊形是正方形，

所以.

易證，

所以，

所以，

所以，

因為，三棱柱為直三棱柱，

所以平面.

又因為平面，

所以.

又因為，平面，平面，

所以平面.

又因為平面，所以.

又，平面，平面，

所以平面.