Question

（本小題滿分15分）   已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，過其上一點P（x₀, y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=-2x₀ （x-x₀）．

（Ⅰ）求拋物線方程；

（Ⅱ）斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0, λ≠-1）,若，求證線段PM的中點在y軸上；

（Ⅲ）C、D是拋物線上的兩個動點，若拋物線在C、D點處的切線互相垂直，直線CD是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設拋物線的方程為y=ax²,

　　　 ∵過點p（x₀, y₀ ） （x₀≠0）的切線方程為y- y₀ =2ax₀（x-x₀ ）,

　　　 ∴2a= -2, a= -1, ∴拋物線的方程為y= -x²

（Ⅱ）直線PA的方程為y- y₀ =k₁（x-x₀ ）,聯立,得：，

　　　 ∴，同理,可得，　　　 又∵∴∴，

　　　 又 ∴

　　　 ∴線段PM的中點的橫坐標是，該點在y軸上． 　　　　　　　　　　　

（Ⅲ）設:,直線代入拋物線方程，∴

　　 又拋物線在C、D點處的切線互相垂直，所以∴，，

　　　 所以直線CD過定點．