Question

【題目】對由和這兩個數字組成的字符串,作如下規定:按從左向右的順序,當第一個子串“”的最后一個所在數位是第(,且)位,則稱子串“”在第位出現;再繼續從第位按從左往右的順序找子串“”,若第二個子串“”的最后一個所在數位是第位(其中且),則稱子串“”在第位出現;……;如此不斷地重復下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出現,而不是在第位和第位出現.記在位由組成的所有字符串中,子串“”在第位出現的字符串的個數為.

（1）求的值;

（2）求證:對任意的正整數,是的倍數.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）直接由題意分析求解的值,即可求得答案;

（2）當且 時,當最后位是時,前個數位上,每個數位上的數字都有兩種可能,即和,共有種可能.當最后位是時,若最后位是,且前位形成的字符串中是子串“”在第位出現的字符串,此時不滿足條件.可得且,,,然后利用數學歸納法證明是的倍數,即可求得答案.

（1） 在位數字符串中,子串“”在第位出現有且只有個,即,

.

在位數字符串中,子串“”在第位出現有個,即與,

（2）當且 時,

當最后位是時,前個數位上,每個數位上的數字都有兩種可能,即和,

共有種可能．

當最后位是時,若最后位是,且前位形成的字符串中是子串“”在第位出現的字符串,此時不滿足條件．

且.

,

.

下面用數學歸納法證明是的倍數．

①當時,是的倍數;

②假設當時,是的倍數,

當時,

是的倍數,且也是的倍數,

是的倍數．

即當時,是的倍數．

由①,②可知,對任意的正整數,是的倍數．