Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）求證:平面平面；

（2）若二面角的正切值為，求與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）計算相關線段長度，先通過線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后根據面面垂直的判定定理即可完成證明；

（2）先根據二面角的正切值，采用向量方法求解出的長度，

法（一）：采用幾何方法，找到點在平面內的射影點，根據線段長度即可求解出線面角的余弦值；

法（二）：采用向量方法，根據直線方向向量與平面法向量的夾角的余弦值即為線面角的正弦值，即可求解出結果.

（1）依題設得，，故，故，

又，，故且，故底面，

又平面，因此平面平面；

（2）如圖，作直線平面，以點為原點，

分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.

則點，，設平面的法向量，

則，取，得，

又設平面的法向量，設，

則，取，得，

由題設知，即，解得

（法一）取中點，連接，則平面，

則是與平面所成角，

因為，，故，

因此，此為所求；

（法二）點，故，平面的法向量，

設與平面所成角為，

則，因此與平面所成角的余弦值為.