Question

設函數f(x)＝－ax²，a∈R.
(1)當a＝2時，求函數f(x)的零點；
(2)當a>0時，求證：函數f(x)在(0，＋∞)內有且僅有一個零點；
(3)若函數f(x)有四個不同的零點，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）0，x＝，x＝，x＝（2）見解析（3）(1，＋∞)

(1)解：當x≥0時，由f(x)＝0，得－2x²＝0，即x(2x²＋4x－1)＝0，解得x＝0或x＝ (舍負)；
當x<0時，由f(x)＝0，得－2x²＝0，
即x(2x²＋4x＋1)＝0(x≠－2)，解得x＝.
綜上所述，函數f(x)的零點為0，x＝，x＝，x＝.
(2)證明：當a>0且x>0時，由f(x)＝0，得－ax²＝0，即ax²＋2ax－1＝0.
記g(x)＝ax²＋2ax－1，則函數g(x)的圖象是開口向上的拋物線．
又g(0)＝－1<0，所以函數g(x)在(0，＋∞)內有且僅有一個零點，
即函數f(x)在區間(0，＋∞)內有且僅有一個零點．
(3)解：易知0是函數f(x)的零點．
對于x>0，由(2)知，當a>0時，函數f(x)在區間(0，＋∞)內有且僅有一個零點；
當a≤0時，g(x)＝ax²＋2ax－1<0恒成立，因此函數f(x)在區間(0，＋∞)內無零點．
于是，要使函數f(x)有四個不同的零點，函數f(x)在區間(－∞，0)內就要有兩個不同的零點．
當x<0時，由f(x)＝0，得－ax²＝0，即ax²＋2ax＋1＝0(x≠－2)．①
因為a＝0不符合題意，所以①式可化為x²＋2x＋＝0(x≠－2)，即x²＋2x＝－＝0.
作出函數h(x)＝x²＋2x(x<0)的圖象便知－1<－<0，得a>1，
綜上所述，a的取值范圍是(1，＋∞)．