Question

直線l：y=k（x-1）過已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1經過點（0，

3

），離心率為

1

2

，經過橢圓C的右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，當直線l的傾斜角變化時，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設知b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，因為a²=b²+c²a²=4，c²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l方程y=k（x-1），且l與y軸交于M（0，-1），設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韋達定理結合題設條件能夠推導出當直線l的傾斜角變化時，λ+μ的值為定值-

8

3

．
（Ⅲ）當直線l斜率不存在時，直線l⊥X軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點N(

5

2

，0)，猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點N(

5

2

，0)．
證明：由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知D（4，y₁），E（4，y₂）．當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點N(

5

2

，0)，再證點N(

5

2

，0)也在直線l_BD上；所以當m變化時，AE與BD相交于定點(

5

2

，0)．

解答：解：（Ⅰ）由題設知b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，因為a²=b²+c²a²=4，c²=1，∴橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設直線l方程y=k（x-1），且l與y軸交于M（0，-k），設直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

（6分）
又由

MA

=λ

AF

，
∴（x₁，y₁）=λ（1-x₁，-y₁），
∴λ=

x1

1-x1

，同理∴μ=

x2

1-x2

（8分）
∴λ+μ=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=-

8

3

所以當直線l的傾斜角變化時，λ+μ的值為定值-

8

3

；（10分）
（Ⅲ）當直線l斜率不存在時，直線l⊥X軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交FK的中點N(

5

2

，0)，
猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點N(

5

2

，0)（11分）
證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點N(

5

2

，0)，∵lAE：y-y2=

y2-y1

4-x1

•(x-4)
當x=

5

2

時，y=y2+

y2-y1

4-x1

•(-

3

2

)=

2(4-x1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)

2(4-x1)

=

2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)

2(4-x1)

=

-8k-2kx2x1+5k(x2+x1)

2(4-x1)

=0∴點N(

5

2

，0)在直線l_AE上，同理可證，點N(

5

2

，0)也在直線l_BD上；∴當m變化時，AE與BD相交于定點(

5

2

，0)

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用圓錐曲線性質，注意合理地進行等價轉化．