Question

已知拋物線C：y²=8x，O為坐標原點，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點A，B
（1）求證：

OA

•

OB

為常數；
（2）求滿足

OM

=

OA

+

OB

的點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯立得到根與系數的關系，利用向量的數量積運算即可證明；
（2）利用向量的運算可得點M關于k的參數方程，消去參數并求出范圍即可得出點M的軌跡方程．

解答：解：將y=k（x+2）代入y²=8x，整理得k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，
∵動直線l與拋物線C交于不同兩點A、B，
∴k≠0且△＞0，即

k≠0 (4k2-8)2-16k4＞0

解得：-1＜k＜1且k≠0．
設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8

k2

-4， x1x2=4．
（1）證明：

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(

8

k2

-4)+4k2=20，
∴

OA

•

OB

為常數．
（2）解：

OM

=

OA

+

OB

=(x1，y1)+(x2，y2)=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（x₁+x₂，k（x₁+x₂+4））=(

8

k2

-4，

8

k

)．
設M（x，y），則

x= 8 k2 -4 y= 8 k

消去k得：y²=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k²＜1，

1

k2

＞1，∴x=

8

k2

-4＞4，
∴點M的軌跡方程為y²=8x+32（x＞4）

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的數量積運算、向量的運算、直線的參數方程等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．