Question

已知圓C：（x+1）²+（y-2）²=4
（1）若直線l：y=k（x-2）與圓C有且只有一個公共點，求直線l的斜率k的值；
（2）若直線m：y=kx+2被圓C截得的弦AB滿足OA⊥OB（O是坐標原點），求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程找出圓心C坐標，以及半徑r，根據直線l與圓C有且只有一個公共點，得到直線l與圓C相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值即可；
（2）設直線m與圓C的兩交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA與OB垂直，利用兩直線垂直時斜率滿足的關系列出關系式x₁x₂=-y₁y₂，將直線m與圓C方程聯立，利用韋達定理列出關系式，代入x₁x₂=-y₁y₂中計算求出k的值，即可確定出直線m方程．

解答：解：（1）由圓的方程得：圓心C（-1，2），半徑r=2，
由直線l與圓C只有一個公共點，得到直線l與圓C相切，
∴圓心到直線l距離d=

|-3k-2|

k2+1

=2，
整理得：5k²+12k=0，即k（5k+12）=0，
解得：k=0或k=-

12

5

；
（2）設直線m與圓C的兩交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴x₁x₂=-y₁y₂，
聯立直線m與圓C方程得：

y=kx+2① (x+1)2+(y-2)2=4②

，
將①代入②得：（x+1）²+（kx）²=4，即（k²+1）x²+2x-3=0，
∴x₁x₂=

-3

k2+1

，x₁+x₂=-

2

k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+2，
∴x₁x₂=-y₁y₂=-k²x₁x₂-k（x₁+x₂）-2，即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+2=0，
∴-3-

2k

k2+1

+2=0，即

2k

k2+1

=-1，
整理得：k²+2k+1=0，即（k+1）²=0，
解得：k=-1，
則直線m方程為y=-x+2．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線的一般式方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．