Question

設曲線y=xⁿ(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n,則數列{}的前n項和S_n等于　　　　.

Answer 1

2ⁿ⁺¹-2

∵y'=nx^n-1-(n+1)xⁿ,∴y'|_x=2=n·2^n-1-(n+1)·2ⁿ=-n·2^n-1-2ⁿ,
∴切線方程為y+2ⁿ=(-n·2^n-1-2ⁿ)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2ⁿ,即a_n=(n+1)·2ⁿ,
∴=2ⁿ,∴S_n=2ⁿ⁺¹-2.